{"id":17574,"date":"2020-08-11T10:18:41","date_gmt":"2020-08-11T14:18:41","guid":{"rendered":"https:\/\/antilla-martinique.com\/?p=17574"},"modified":"2020-08-11T10:18:41","modified_gmt":"2020-08-11T14:18:41","slug":"la-merveilleuse-presence-des-mathematiques-dans-la-nature","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/antilla-martinique.com\/en\/la-merveilleuse-presence-des-mathematiques-dans-la-nature\/","title":{"rendered":"The Wonderful Presence of Mathematics in Nature"},"content":{"rendered":"

Avez-vous d\u00e9j\u00e0 observ\u00e9 la forme d\u2019une fleur de tournesol, la structure d\u2019un flocon de neige ou la morphologie d\u2019une foug\u00e8re\u00a0? Au-del\u00e0 de leur beaut\u00e9 fascinante, on peut aussi y voir des objets math\u00e9matiques, puisque les spirales de la fleur de tournesol suivent une c\u00e9l\u00e8bre suite num\u00e9rique appel\u00e9e\u00a0suite de Fibonacci<\/a>, les flocons de neige pr\u00e9sentent des\u00a0sym\u00e9tries hexagonales<\/a>particuli\u00e8res et la morphologie de la foug\u00e8re d\u00e9crit une g\u00e9om\u00e9trie\u00a0fractale<\/a>.<\/p>\n

De nombreux autres exemples illustrent \u00e0 quel point les objets math\u00e9matiques sont pr\u00e9sents dans la nature. R\u00e9ciproquement, les math\u00e9matiques sont utilis\u00e9es pour comprendre les ph\u00e9nom\u00e8nes qui nous entourent\u00a0: c\u2019est par exemple gr\u00e2ce aux \u00e9quations diff\u00e9rentielles<\/a> que nous pouvons calculer pr\u00e9cis\u00e9ment les trajectoires des astres ou pr\u00e9dire le temps qu\u2019il fera dans quelques jours. Les objets math\u00e9matiques semblent s\u2019appliquer \u00e0 presque toutes les sciences avec des performances remarquables. Cette efficacit\u00e9 est particuli\u00e8rement intrigante en physique.<\/p>\n

Eugene Wigner<\/a>, prix Nobel en 1963\u00a0pour ses contributions \u00e0 la th\u00e9orie des particules \u00e9l\u00e9mentaires par la d\u00e9couverte et l\u2019application de principes fondamentaux de sym\u00e9trie, pose en 1960 la question de la \u00ab\u00a0d\u00e9raisonnable efficacit\u00e9\u00a0\u00bb<\/a> des math\u00e9matiques en sciences de la nature. Cette efficacit\u00e9 peut para\u00eetre superficielle si on r\u00e9duit les math\u00e9matiques \u00e0 une simple bo\u00eete \u00e0 outils dont se servent les autres sciences. Mais le lien entre math\u00e9matiques et nature est beaucoup plus profond\u00a0: les math\u00e9matiques sont souvent indispensables \u00e0 la compr\u00e9hension des ph\u00e9nom\u00e8nes et elles permettent de faire des pr\u00e9dictions inattendues qui ne seront observ\u00e9es que bien plus tard. Voici deux exemples<\/p>\n

Des cigales qui chantent au rythme des nombres premiers<\/h2>\n

Les cigales Magicicada Cassini<\/em> ont un cycle de vie tr\u00e8s particulier\u00a0: ces insectes restent sous terre pendant des ann\u00e9es, et sortent pour se reproduire tant\u00f4t tous les 13\u00a0ans, tant\u00f4t tous les 17\u00a0ans, et exclusivement \u00e0 ces deux intervalles de temps.<\/p>\n

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Une cigale Magicicada Cassini, aux \u00c9tats-Unis.<\/span> James St. John\/Flickr<\/a>, CC BY<\/a><\/span><\/figcaption><\/figure>\n

Les sp\u00e9cialistes ont propos\u00e9 d\u2019expliquer<\/a> ce ph\u00e9nom\u00e8ne gr\u00e2ce \u00e0 des arguments \u00e9volutionnistes\u00a0: ces insectes tendent \u00e0 minimiser leurs interactions avec les pr\u00e9dateurs (qui ont un cycle de vie de n<\/em> ans). Or, cette explication ne devient satisfaisante qu\u2019\u00e0 l\u2019aide du r\u00e9sultat purement math\u00e9matique suivant\u00a0: si p<\/em> est un nombre premier<\/a> et n<\/em> un entier strictement plus petit que p<\/em>, alors le plus petit multiple commun \u00e0 p<\/em> et n<\/em> est p<\/em> \u00d7 n<\/em>. En effet, imaginons que la dur\u00e9e du cycle du pr\u00e9dateur soit de 4\u00a0ans. Si les cigales (qui ont un cycle de 17\u00a0ans) sont confront\u00e9es \u00e0 leur pr\u00e9dateur une ann\u00e9e, elles ne le seront pas lors de leur prochaine apparition, puisque ce pr\u00e9dateur appara\u00eetra \u00e0 la 16e<\/sup> ann\u00e9e et \u00e0 la 20e<\/sup> ann\u00e9e mais pas \u00e0 la 17e<\/sup> ann\u00e9e. En fait, ils ne vont se croiser qu\u2019apr\u00e8s 68\u00a0ans (car 17 \u00d7 4=68).<\/p>\n

On se demande alors si le m\u00e9canisme darwinien de la s\u00e9lection naturelle<\/a> ne serait pas en fait un math\u00e9maticien qui appliquerait ce th\u00e9or\u00e8me dans son \u0153uvre. Quelle que soit la r\u00e9ponse apport\u00e9e, une autre question subsiste\u00a0: y a-t-il une autre explication de ce ph\u00e9nom\u00e8ne qui ne fait pas appel \u00e0 des notions abstraites de math\u00e9matiques\u00a0?<\/p>\n

\u00ab\u00a0Mon \u00e9quation \u00e9tait plus intelligente que moi\u00a0\u00bb, dixit Paul Dirac, prix Nobel<\/h2>\n

\u00c0 la fin des ann\u00e9es\u00a01920, les deux grandes th\u00e9ories physiques que sont la relativit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rale<\/a> et la physique quantique<\/a> sont encore jeunes mais d\u00e9j\u00e0 bien abouties et largement \u00e9tudi\u00e9es. Or, il semblait \u00e0 l\u2019\u00e9poque \u2013 et c\u2019est presque toujours valable aujourd\u2019hui \u2013 que ces deux physiques s\u2019ignorent\u00a0: la premi\u00e8re d\u00e9crit le comportement \u00e0 grande \u00e9chelle de l\u2019univers et l\u2019autre s\u2019int\u00e9resse \u00e0 l\u2019infiniment petit.<\/p>\n

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Paul Dirac, 1933.<\/span> Wikipedia<\/a><\/span><\/figcaption><\/figure>\n

Paul Dirac d\u00e9cide alors de relier ces deux visions en formulant une \u00e9quation qui d\u00e9crit l\u2019\u00e9tat quantique d\u2019un \u00e9lectron tout en tenant compte des principes de la relativit\u00e9. Arm\u00e9 de concepts math\u00e9matiques avanc\u00e9s<\/a>, jusque l\u00e0 cantonn\u00e9s au monde des objets abstraits, Dirac \u00e9tablit une \u00e9quation<\/a> qui d\u00e9crit correctement les \u00e9lectrons et qui est coh\u00e9rente avec l\u2019\u00e9quation de Schr\u00f6dinger<\/a> lorsque les vitesses des particules sont tr\u00e8s petites compar\u00e9es \u00e0 celle de la lumi\u00e8re.<\/p>\n

Mais, \u00e0 c\u00f4t\u00e9 de ces succ\u00e8s, de nouveaux probl\u00e8mes apparaissent puisque l\u2019\u00e9quation admet \u00e9galement d\u2019autres solutions que les particules d\u00e9j\u00e0 connues\u2026 En d\u2019autres termes, l\u2019\u00e9quation de Dirac semblait pr\u00e9dire l\u2019existence de particules in\u00e9dites<\/em> ayant des \u00ab\u00a0\u00e9nergies n\u00e9gatives\u00a0\u00bb. Une cons\u00e9quence math\u00e9matique<\/em> de l\u2019\u00e9quation de Dirac, qui \u00e9tait rejet\u00e9e par l\u2019ensemble des physiciens de l\u2019\u00e9poque, y compris par Dirac lui-m\u00eame. Ce n\u2019est qu\u2019au bout de quelques ann\u00e9es anim\u00e9es par des d\u00e9bats et des efforts acharn\u00e9s que Dirac c\u00e8de \u00e0 sa propre \u00e9quation et nomme la particule hypoth\u00e9tique d\u2019\u00e9nergie n\u00e9gative un \u00ab\u00a0anti-\u00e9lectron\u00a0\u00bb. Cette particule sera observ\u00e9e exp\u00e9rimentalement trois ans apr\u00e8s, et initiera ainsi la d\u00e9couverte de l\u2019antimati\u00e8re. En commentant cet \u00e9pisode, Dirac dira plus tard<\/a>\u00a0: \u00ab\u00a0Mon \u00e9quation \u00e9tait plus intelligente que moi.\u00a0\u00bb<\/p>\n

Les math\u00e9matiques\u00a0: langage de la nature\u00a0?<\/h2>\n

On attribue souvent le d\u00e9but de cette relation fusionnelle entre les math\u00e9matiques et la physique aux travaux de Kepler et de Galil\u00e9e, au XVIIe<\/sup>\u00a0si\u00e8cle. Il y a alors un virage important dans l\u2019histoire des sciences, exprim\u00e9 par la fameuse citation de Galil\u00e9e\u00a0:<\/p>\n

\u00ab\u00a0La philosophie est \u00e9crite dans ce vaste livre qui constamment se tient ouvert devant nos yeux (je veux dire l\u2019Univers), et on ne peut le comprendre si d\u2019abord on n\u2019apprend pas \u00e0 conna\u00eetre la langue et les caract\u00e8res dans lesquels il est \u00e9crit. Or il est \u00e9crit en langue math\u00e9matique, et ses caract\u00e8res sont les triangles, les cercles et autres figures g\u00e9om\u00e9triques, sans lesquelles il est humainement impossible d\u2019en comprendre un seul mot, sans lesquelles on erre vraiment dans un labyrinthe obscur.\u00a0\u00bb (Galileo Galilei, \u00ab\u00a0L\u2019Essayeur\u00a0\u00bb, 1623)<\/p><\/blockquote>\n

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Galileo Galilei, peint par Justus Sustermans en 1635, et Johannes Kepler dans une peinture de 1610\u00a0dont l\u2019original a \u00e9t\u00e9 perdu.<\/span> Wikipedia<\/a><\/span><\/figcaption><\/figure>\n

L\u2019utilisation de l\u2019adverbe \u00ab\u00a0humainement\u00a0\u00bb fait porter \u00e0 cette phrase un sens ambivalent qui a occup\u00e9, et continue d\u2019occuper, les plus grands esprits de ces trois derniers si\u00e8cles. L\u2019assertion de Galil\u00e9e signifie-t-elle que les math\u00e9matiques sont la v\u00e9ritable et unique langue de la nature\u00a0? Les humains doivent alors apprendre cette langue afin de comprendre la r\u00e9alit\u00e9 qu\u2019ils observent. Ou signifie-t-elle, au contraire, que les math\u00e9matiques sont une invention humaine qui permet de rendre les ph\u00e9nom\u00e8nes observ\u00e9s intelligibles \u00e0 l\u2019\u00e9tude\u00a0? Il n\u2019existe naturellement aucune r\u00e9ponse d\u00e9finitive qui mette tout le monde d\u2019accord sur la nature de ce myst\u00e9rieux lien entre objets math\u00e9matiques (objets abstraits) et r\u00e9alit\u00e9 physique (objets empiriques).<\/p>\n

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[youtube https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=YQMhrVSR6X0?wmode=transparent&start=0]<\/div>\n<\/figure>\n

N\u00e9anmoins, de grandes \u00e9coles philosophiques ont propos\u00e9 leurs th\u00e8ses sur le sujet. Certains empiristes<\/a> pensent que les objets math\u00e9matiques sont le fruit d\u2019un processus d\u2019\u00e9puration (d\u2019une abstraction) d\u2019objets concrets et observ\u00e9s. \u00c0 l\u2019inverse, des id\u00e9alistes<\/a>, parfois appel\u00e9s platoniciens, consid\u00e8rent que les objets math\u00e9matiques existent comme des id\u00e9alit\u00e9s s\u00e9par\u00e9es du monde observ\u00e9 et ces id\u00e9alit\u00e9s s\u2019appliquent aux ph\u00e9nom\u00e8nes de la nature car elles ont servi de mod\u00e8les \u00e0 leur constitution. Les kantiens<\/a> quant \u00e0 eux pensent que noue ne pouvons appr\u00e9hender les ph\u00e9nom\u00e8nes de la nature hors de structures inn\u00e9es et identiques \u00e0 tout \u00eatre humain\u00a0: les formes \u00ab\u00a0a priori\u00a0\u00bb de la sensibilit\u00e9<\/a>, que sont l\u2019espace, le temps et les concepts de l\u2019entendement<\/a>. L\u2019espace et le temps constituent donc les conditions de toute exp\u00e9rience physique mais aussi de toute construction math\u00e9matique, il est in\u00e9vitable que toute science naturelle soit une science math\u00e9matique<\/a>. Enfin, d\u2019autres philosophes plus formalistes<\/a> ne voient aucun myst\u00e8re dans l\u2019histoire puisque les math\u00e9matiques ne sont qu\u2019un jeu de symboles que les scientifiques (physiciens, biologistes, \u00e9conomistes, etc.) interpr\u00e8tent \u00e0 loisir.<\/p>\n

Alors que les scientifiques et les philosophes continuent de d\u00e9battre sur la question, les abeilles savent construire depuis des si\u00e8cles des nids dont la structure hexagonale permet d\u2019am\u00e9nager le maximum d\u2019alv\u00e9oles pour un minimum de cire. Cette propri\u00e9t\u00e9 math\u00e9matique a \u00e9t\u00e9 conjectur\u00e9e<\/a> au IVe<\/sup>\u00a0si\u00e8cle mais n\u2019a \u00e9t\u00e9 d\u00e9montr\u00e9e qu\u2019en 1999 \u2013 le th\u00e9or\u00e8me porte m\u00eame le nom de th\u00e9or\u00e8me du nid d\u2019abeille<\/a>.<\/p>\n

Que les math\u00e9matiques soient juste une repr\u00e9sentation qui rende la nature intelligible \u00e0 l\u2019\u00e9tude ou qu\u2019elles soient son v\u00e9ritable langage, cette nature ne cesse de fasciner, et elle continuera certainement \u00e0 le faire bien longtemps.<\/p>\n

Athmane Bakhta<\/a>, Ing\u00e9nieur \u2013 chercheur en math\u00e9matiques appliqu\u00e9es, Commissariat \u00e0 l\u2019\u00e9nergie atomique et aux \u00e9nergies alternatives (CEA)<\/a><\/em><\/p><\/blockquote>\n

 <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Avez-vous d\u00e9j\u00e0 observ\u00e9 la forme d\u2019une fleur de tournesol, la structure d\u2019un flocon de neige ou la morphologie d\u2019une foug\u00e8re\u00a0? Au-del\u00e0 de leur beaut\u00e9 fascinante, on peut aussi y voir des objets math\u00e9matiques, puisque les spirales de la fleur de tournesol suivent une c\u00e9l\u00e8bre suite num\u00e9rique appel\u00e9e\u00a0suite de Fibonacci, les flocons de neige pr\u00e9sentent des\u00a0sym\u00e9tries<\/p>","protected":false},"author":33,"featured_media":17576,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"_uf_show_specific_survey":0,"_uf_disable_surveys":false,"footnotes":"","rank_math_focus_keyword":"","rank_math_title":"","rank_math_description":"","rank_math_canonical_url":"","rank_math_robots":null,"rank_math_facebook_title":"","rank_math_facebook_description":"","rank_math_twitter_title":"","rank_math_twitter_description":""},"categories":[9],"tags":[],"class_list":["post-17574","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","category-latribune"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/antilla-martinique.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/17574","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/antilla-martinique.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/antilla-martinique.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/antilla-martinique.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/users\/33"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/antilla-martinique.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=17574"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/antilla-martinique.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/17574\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/antilla-martinique.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/media\/17576"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/antilla-martinique.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=17574"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/antilla-martinique.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=17574"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/antilla-martinique.com\/en\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=17574"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}