Soyons fous cette année pour les vacances, ouvrons un hôtel infini. Oui, vous avez bien lu, un hôtel hypothétique avec une infinité dénombrable de chambres. Un ensemble infini est dit dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers. Dès lors on peut numéroter les chambres : chambre 1, chambre 2, et ce jusqu’à l’infini. Chaque chambre accueille un seul voyageur.
Quel serait l’avantage de cet hôtel novateur ?
Illustration de l’hôtel infini réalisée par Julie De Saedeleer. Author provided
Imaginons que chaque chambre de notre hôtel infini est déjà occupée, l’hôtel est complet ! Un nouveau voyageur se présente à l’accueil et souhaite obtenir une chambre. Mauvaise nouvelle ? Non ! Les propriétés de l’infini vont nous permettre de lui en trouver une. Mais comment procéder ? Le standardiste a une idée. Il frappe à la chambre 1 et demande à son occupant d’aller s’installer dans la chambre 2, ensuite il demande à l’occupant de la chambre 2 de s’installer dans la 3 et ainsi de suite. Chaque client déménage de la chambre N vers la chambre N+1 et, comme il y a un nombre infini de chambres, il y a une nouvelle chambre pour chaque client. Après ce long procédé, le standardiste, infatigable, indique au voyageur que la première chambre est à présent libre pour la nuit, il ne reste qu’à mettre des draps propres pour tout le monde et bonne nuit.
Cet hôtel remarquable permet également de loger les voyageurs de tout un bus alors que l’hôtel est déjà complet. Supposons qu’un bus contenant 20 nouveaux voyageurs arrive. Le standardiste génial utilise la même idée et demande cette fois à l’occupant de la chambre 1 de déménager vers la chambre 21, à l’occupant de la chambre 2 de déménager vers la 22 et ainsi de suite. Chaque client déménage de la chambre N vers la chambre N+20 et le problème est résolu : les 20 voyageurs du bus s’installent chacun dans une des 20 premières chambres qui sont à présent vides. Ce procédé fonctionne quel que soit le nombre fini de voyageurs qui se présentent. Fantastique, mais il est fort probable qu’on vous demande de bouger plusieurs fois pendant la nuit.
A présent, imaginons que c’est un bus infini, rempli d’un nombre infini dénombrable de voyageurs (voyageur 1, voyageur 2…) qui arrive à notre hôtel qui est complet. Notre fidèle standardiste, d’abord perplexe, trouve rapidement comment loger cette infinité de nouveaux voyageurs !
Et vous ?
Il faut pour cela libérer un nombre infini de chambres, par exemple toutes les chambres impaires. Notre standardiste demande donc au client de la chambre 1 de déménager vers la chambre 2, au client de la chambre 2 de déménager vers la 4, à celui de la chambre 3 de déménager vers la 6 et ainsi de suite. Cette fois, le client de la chambre N déménage vers la chambre 2N. Les chambres paires sont à présent toutes occupées, laissant toutes les chambres impaires libres pour accueillir les nouveaux voyageurs. Tout le monde est content, mis à part peut-être le personnel de l’hôtel qui décidément n’arrête jamais de changer les draps.
Notre hôtel infini se taille une sacrée réputation, car il y a toujours de la place, quel que soit le nombre de personnes qui se présentent.
Il est possible de pousser l’expérience encore plus loin en imaginant qu’un nombre infini dénombrable de bus, chacun transportant un nombre infini dénombrable de voyageurs, arrivent à notre hôtel, toujours complet. Le standardiste peut à nouveau compter sur les mathématiques pour l’aider, en faisant appel à l’infinité des nombres premiers. Les nombres premiers sont des nombres naturels qui ont exactement deux diviseurs : 1 et eux-mêmes. Par exemple : 2, 3, 5… L’infinité dénombrable des nombres premiers fut démontrée par Euclide au 4e siècle avant Jesus-Christ. Il se base sur ce résultat pour libérer un nombre infini de chambres pouvant accueillir le nombre infini de clients, venant d’un nombre infini de bus infinis.
Les clients de l’hôtel vont déménager vers les chambres dont les numéros sont les exposants de 2 (premier nombre premier). Par exemple, le client de la chambre 5 ira dans la chambre 25 (=32). Le client de la chambre N déménage donc vers la chambre 2N. Passons ensuite au premier bus infini dont les clients seront envoyés vers les chambres numérotées par les exposants de 3 (deuxième nombre premier). Le voyageur du siège 5 du premier bus dormira dans la chambre 35 (=243). Et ainsi de suite pour l’infinité de clients de l’infinité de bus ; le client N du 2e bus dormira dans la chambre 5N, le client N du 3e bus dormira dans la chambre 7N. Comme nous utilisons les exposants des nombres premiers, il n’y a pas de répétition des numéros de chambres et chaque client peut dormir tranquillement. Notons qu’il reste une infinité de chambres vides, celles qui ne sont pas des exposants de premiers, par exemple la 6e chambre.
Malgré le travail logistique colossal que cet hôtel demande, ces expériences ne sont possibles que parce que nous travaillons avec l’infini et en particulier sa plus petite version, que l’on appelle « infini dénombrable », concept que nous avons utilisé tout le long en comptant les chambres, les bus, les clients… Par contre si un hôtel fini, aussi grand soit-il, est complet il est impossible de rajouter le moindre voyageur.
Notre hôtel infini, souvent appelé Hôtel de Hilbert, est une expérience théorique pensée par le mathématicien David Hilbert (1862-1943) qui illustre le paradoxe éponyme décrivant les propriétés contre-intuitives des ensembles infinis.
Cette expérience de pensée illustre surtout les problèmes que nous avons à gérer l’infini, en nous forçant à abandonner nos habitudes de dénombrement dans les ensembles finis.